Fahrplan

1PL Modell

\[ logit(P(X_{pi}=1)) = \theta_p - \beta_i \]

• Logit: Transformation unseres linearen Terms, damit die Werte zwischen 0 und 1 liegen. Wahrscheinlichkeit \(p\) durch Gegenwahrscheinlichkeit \(1-p\).
• Inverse der logit ist die logistische Funktion.

1PL Modell: Umformen

\[ logit(P(X_{pi}=1)) = \ln\left(\frac{P(X_{pi}=1)}{1-P(X_{pi}=1)}\right) = \theta_p - \beta_i \]

1PL Modell: Umformen

\[ \frac{p_{pi}}{1-p_{pi}} = exp(\theta_p - \beta_i) \]

\[ p_{pi} = exp(\theta_p - \beta_i)*( 1-p_{pi}) \]

1PL Modell: Umformen

\[ p_{pi} + p_{pi} * exp(\theta_p - \beta_i) = exp(\theta_p - \beta_i) \]

1PL Schreibweise 1

\[ P(X_{pi}=1) = \frac{exp(\theta_p - \beta_i)}{1 + exp(\theta_p - \beta_i)} \]

1PL Schreibweise 2

\[ P(X_{pi}=1) = \frac{e^{\theta_p - \beta_i}}{1 + e^{\theta_p - \beta_i}} \]

1PL Schreibweise 3

\[ P(X_{pi}=1) = \frac{1}{1 + e^{\color{#9B1B34}{-}\theta_p \color{#9B1B34}{+} \beta_i}} \]

Beispiel

\[ \frac{exp(1 - 0.8)}{1 + exp(1 - 0.8)} = 0.55 \]

Wahrscheinlichkeit einer richtigen Antwort über 0.5, wenn \(\theta_p > \beta_i\).

Beispiel

\[ \frac{exp(0.8 - 1)}{1 + exp(0.8 - 1)} = 0.45 \]

Wahrscheinlichkeit einer richtigen Antwort unter 0.5, wenn \(\theta_p < \beta_i\).

Neue Paramter

Wir können Parameter zu diesem Modell hinzufügen, wodurch wir flexibler in der Modellierung werden:

• Schwierigkeit \(\beta_i\) (Intercept)

3PL

\[ P(X_{pi}=1) = \color{#aaa938}{\gamma_i} + (1-\color{#aaa938}{\gamma_i})\frac{exp(\color{#F4BA02}{\alpha_i}(\theta_p - \color{#99D9DD}{\beta_i})))}{1 + exp(\color{#F4BA02}{\alpha_i}(\theta_p - \color{#99D9DD}{\beta_i}))} \]

• Schwierigkeit
• Diskriminationsparamter
• Ratewahrscheinlichkeit
  • z.B. bei 4 Antwortmöglichkeiten: \(\gamma_i = 1/4 = 0.25\)

2PL

\(\gamma_i = 0\)

\[ P(X_{pi}=1) = \color{#9B1B34}{0} + (1-\color{#9B1B34}{0})\frac{exp(\alpha_i(\theta_p - \beta_i)))}{1 + exp(\alpha_i(\theta_p - \beta_i))} \]

1PL

\(\alpha_i = 1\)

\[ P(X_{pi}=1) = 0 + (1-0)\frac{exp(\color{#9B1B34}{1}(\theta_p - \beta_i)))}{1 + exp(\color{#9B1B34}{1}(\theta_p - \beta_i))} \]

Darstellung

viewof alpha1 = Inputs.range(
  [-3, 3], 
  {value: 1, step: .01, label: tex`\alpha`}
)
viewof beta1 = Inputs.range(
  [-3, 3], 
  {value: 0, step: .01, label: tex`\beta`}
)
viewof gamma1 = Inputs.range(
  [0, 1], 
  {value: 0, step: .01, label: tex`\gamma`}
)

line_function = function(alpha, beta, gamma, theta) {
    return gamma + (1 - gamma) * (Math.exp(alpha * (theta - beta)) / (1 + Math.exp(alpha * (theta - beta))));
}

// X-Variable
data = d3.range(-6, 6, 0.01).map((theta) => ({
  x: theta,
  y1: line_function(alpha1, beta1, gamma1, theta),
}));

Plot.plot(
  {
    x: {grid: false, domain: [-6, 6]}, 
    y: {grid: false, domain: [0, 1]},
    marks: [
      Plot.line(data, {x: "x", y: "y1", stroke: "#F4BA02"}),
    ]
  }
)

Simulieren von IRT Daten

Übung

Geht zur Übung und probiert euch aus.